cos30°=√3/2 大家都背得出來，但 cos15°、cos18°、cos36° 也都能寫成根式嗎？本文用複合角與倍角公式推導這些特殊角的根式表達，並說明哪些角度可以、哪些角度（如 cos20°）不可以，引出尺規作圖可作性的伏筆。

克卜勒第三定律 T²∝a³ 怎麼從第一原理證明？本文從哈密頓-雅可比方法出發，把週期寫成一個積分，用離心近點角代換求出克卜勒方程，並說明為什麼這個積分是初等的——不像單擺，完全不需要橢圓積分。

理想 LC 電路會永遠振盪，但真實電路一定有電阻。本文從 RLC 電路的二階微分方程式出發，推導特徵方程式與判別式，說明欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼三種情況，並與力學的阻尼振子做完整對照。

尺規作圖的每一步本質上都是在解一元二次方程。本文從體擴張次數出發，證明可尺規作圖的數必滿足次數為2的冪，並用Gauss-Wantzel定理解釋正十七邊形可作、但任意角三等分一般不可能的代數原因。

從 cos2°+cos4°+⋯+cos360°=0 出發，用單位圓的對稱性解釋三角函數和式為什麼會抵消。涵蓋 sin、cos、tan 的不同對稱規則，以及 sin²1°+⋯+sin²90°=91/2 這類餘角配對題的萬用模板，並附分層練習。

Starting from cos 2° + cos 4° + ... + cos 360° = 0, this article uses unit-circle symmetry to explain why long trigonometric sums cancel, how sine, cosine, and tangent behave differently, and how complementary-angle pairing solves common high-school problems.

推導 vis-viva 方程式 v²=GM(2/r-1/a)，建立橢圓軌道單位質量能量 ε=-GM/(2a)、角動量 h²=GMa(1-e²) 與幾何量的完整關係。計算近日點與遠日點速度。

引入有效位能概念，將二維軌道問題化為一維能量分析。從 V_eff 的極值結構，直接讀出圓形、橢圓、拋物線、雙曲線軌道的物理條件，並推導 e² = 1 + 2εh²/(GM)²，其中 ε 為單位質量能量。

從克卜勒三定律出發，一步一步推導萬有引力定律 F=GMm/r²。再反過來，從 F=GMm/r² 重新推導出三定律，展示兩者的邏輯等價性。

從焦點-準線定義推導圓錐曲線的極座標方程式 r=ℓ/(1+ecosθ)，說明橢圓、拋物線、雙曲線如何統一在同一個公式中，並連結克卜勒三定律。