分貝、地震規模、視星等：為什麼這些量表都用 log 訂定？

\[\require{physics}\]

《log 的應用系列》：①總覽：乘法變加法的翻譯機 ｜ ②半對數圖與指數衰變 ｜ ③冪律與雙對數圖 ｜ ④分貝、地震規模、視星等 ｜ ⑤熵為什麼要取 log

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一兆倍的聲音強度差，要怎麼標示在同一張表上？

人耳能感知的聲音強度範圍極端誇張：最安靜、剛好聽得見的聲音，跟震耳欲聾、會讓耳朵痛的聲音，強度可以相差 $10^{12}$（一兆）倍。地震釋放的能量，從輕微有感到毀滅性災害的差距同樣是天文數字；夜空中最亮的星星和肉眼勉強看得見的星星，亮度也能相差數十億倍。

如果直接拿這些原始數字做量表——比如聲音強度的瓦特數、地震釋放的焦耳數——一般人完全無法直觀感受「大多少」。這篇文章要說明，科學家怎麼用 log 把這些誇張的數字，轉換成一般人可以直接比較大小的量表。

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直覺：人類感官本身，可能就是對數的

在講公式之前，先講一個很有意思的生理學背景：Weber–Fechner 定律指出，人類對聲音、亮度等刺激強度的主觀感受，大致跟刺激的物理強度取對數成正比，而不是跟物理強度本身成正比。也就是說，當聲音強度變成 $10$ 倍時，我們感覺到的「大聲程度」並不是變成 $10$ 倍，而是感覺大概只變大了一個固定的量。

換句話說：用 log 尺度來標示聲音、亮度，某種程度上更貼近人類感官實際的感受方式，而不只是數學上方便而已。

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分貝：把 $10^{12}$ 倍的強度差壓成 $120$

聲音的分貝（decibel, dB）定義為

\[L=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}\]

其中 $I$ 是待測聲音的強度，$I_0$ 是人耳剛好能聽到的最小強度（參考值）。

例題： 某聲音強度是參考值的 $100$ 倍，求其分貝數。

\[L=10\log_{10}(100)=10\times2=20\ \mathrm{dB}\]

例題： 人耳能感知的強度上限大約是參考值的 $10^{12}$ 倍，求其分貝數。

\[L=10\log_{10}(10^{12})=10\times12=120\ \mathrm{dB}\]

原本 $10^{12}$ 倍這種完全無法直觀想像的比例，透過 log 壓縮成了 $120$ 這個一般人可以直接感受大小的數字。而且因為分貝是乘法變加法：強度每變成 $10$ 倍，分貝固定增加 $10$——這正是整個系列反覆講的翻譯機制：兩個聲源同時發聲，強度是相加（$I_1+I_2$，因為能量會疊加），但如果換算成分貝的差異來思考「倍率」，log 讓「強度乘上多少倍」直接對應到「分貝加上多少」。

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地震規模：每差 $1.0$，能量差約 $32$ 倍

地震規模（如芮氏規模、地震矩規模）的設計邏輯與分貝相同：地震釋放的能量 $E$ 與規模 $M$ 之間，滿足類似

\[\log_{10}E\propto M\]

的關係，更精確地說，地震學上常用的一個經驗關係是每差 $1.0$ 個規模單位，能量大約相差 $10^{1.5}\approx31.6$ 倍。也就是：

\[\log_{10}\left(\frac{E_2}{E_1}\right)=1.5(M_2-M_1)\]

例題： 規模 $7.0$ 的地震，比規模 $5.0$ 的地震，能量大約高出多少倍？

\[\log_{10}\left(\frac{E_2}{E_1}\right)=1.5\times(7.0-5.0)=3.0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{E_2}{E_1}=10^3=1000\]

規模只差了 $2.0$（數字上看起來差距很小），能量卻差了整整 $1000$ 倍！這正是對數量表最容易讓人低估的地方：規模的線性差距，對應的其實是能量的指數差距。 每次新聞報導「規模 $6$ 分的地震比規模 $5$ 分強」，聽起來只差一點，但背後代表的能量差距是約 $32$ 倍，不是 $20\%$。

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視星等：每差 $5$ 星等，亮度差 $100$ 倍

天文學家用視星等（apparent magnitude）描述星星的亮度，定義為

\[m_1-m_2=-2.5\log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right)\]

其中 $F$ 是星星的光通量（亮度）。這個定義裡有兩個奇怪的地方：負號，以及係數 $2.5$（而不是簡單的 $10$）。

負號的原因是歷史遺留：星等制度源自古希臘天文學家依巴谷（Hipparchus）把肉眼可見的星星分成六個等級，最亮的定為 $1$ 等，最暗的定為 $6$ 等——所以星等的數字越小，代表星星越亮，跟直覺「數字大代表量多」正好相反。

係數 $2.5$ 則是刻意選的，目的是讓「星等每差 $5$」，亮度剛好差 $100$ 倍：

\[m_1-m_2=-5 \quad\Longrightarrow\quad -5=-2.5\log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right)=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{F_1}{F_2}=100\]

例題： 若某星星的視星等是 $0$，另一顆是 $5$，兩者亮度相差多少倍？

由上面的推導，星等每差 $5$ 就剛好是 $100$ 倍，所以答案直接是 $100$ 倍。

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三種量表放在一起比較

量表	定義	每單位／固定量對應的倍率	誰的數字越大代表越強
分貝	$L=10\log_{10}(I/I_0)$	每 $+10\,\mathrm{dB}$，強度 $\times10$	分貝越大越強
地震規模	$\log_{10}(E_2/E_1)=1.5\,\Delta M$	每 $+1.0$ 規模，能量 $\times31.6$	規模越大越強
視星等	$m_1-m_2=-2.5\log_{10}(F_1/F_2)$	每 $-5$ 星等，亮度 $\times100$	星等越小越亮（反過來）

三者的係數（$10$、$1.5$、$2.5$）雖然不同，但骨子裡做的是同一件事：把物理上跨越好幾個數量級的比值，透過 log 壓縮成一個線性、可以直接比較大小的數字。 這正是整個系列一路強調的主題：只要背後藏著「倍率」「比例」這種乘法關係，log 就是把它翻譯成人腦能處理的加減法的工具——這一次翻譯的對象，是連人類感官本身都可能傾向用對數方式在感受的物理世界。

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