絕對值函數的最小值：中位數定理的直覺與證明
|x-a| 是課本上最單純的絕對值函數，但把很多個這種函數加起來問最小值在哪裡，就會冒出「中位數定理」。本文從一道約集合點的問題出發，推導出斜率視角與配對不等式證明，並示範推廣成加權中位數。
《中位數定理系列》：①絕對值與中位數定理 ｜ ②遇上二次函數
先從一個很單純的絕對值函數想起
高中課本教絕對值函數，最基本的一句話是：
\[|x-a|=\text{「}x\text{ 到 }a\text{ 的距離」}\]這句話再單純不過，但如果把很多個這種距離加在一起呢？
四位同學住在同一條路上，座標分別是 $1,3,8,10$（單位是公里），班會想約在這條路上的某一點 $x$ 集合，讓大家走的路程總和最小。用函數寫出來，就是要找出讓
\[f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-8|+|x-10|\]最小的 $x$。這個具體的例子會陪著我們走完整篇文章；等規律都摸清楚了，再回頭寫成一般的 $n$ 個點也不遲。
直覺：先自己試幾個點
在動用任何公式之前，不妨先猜猜看、算算看。
猜猜看 1：集合在正中央 $x=5.5$（也就是 $1$ 和 $10$ 的平均）？
\[f(5.5)=4.5+2.5+2.5+4.5=14\]猜猜看 2：集合在 $x=3$（第二個人家門口）？
\[f(3)=2+0+5+7=14\]猜猜看 3：集合在 $x=8$（第三個人家門口）？
\[f(8)=7+5+0+2=14\]咦，三個猜測算出來都是 $14$！只是巧合嗎？再試一個明顯偏一邊的點看看。
猜猜看 4：集合在 $x=0$（最左邊之外）？
\[f(0)=1+3+8+10=22\]這次明顯變大了。看來 $x=0,3,5.5,8$ 這幾個點不是每個都一樣好——$x=3$ 到 $x=8$ 之間似乎有一整段「最省路程」的區域，而跑到外面（像 $x=0$）就會變差。
為什麼會這樣？往人比較多的那一側移動
先猜猜看：集合點會不會跟座標的正中央（也就是最大值與最小值的平均 $5.5$）有關？從上面的計算已經看到，$x=3$、$x=5.5$、$x=8$ 算出來的總路程一樣，可見答案跟「正中央」沒有直接關係，而是跟資料的排列順序有關。
原因可以用一個思考實驗看出來。假設目前集合點在 $x$，把它往右移動一小步 $\varepsilon$：
- 所有住在 $x$ 左邊的同學，距離都增加了 $\varepsilon$。
- 所有住在 $x$ 右邊的同學，距離都減少了 $\varepsilon$。
例如目前 $x=5.5$，左邊住著 $1,3$ 兩人，右邊住著 $8,10$ 兩人——左右各兩人，人數打平，所以無論往左或往右移一點點，總路程都不會變小（增加的人數跟減少的人數一樣多）。這正好解釋了為什麼 $x=3,5.5,8$ 這整段算出來都是 $14$：只要左右兩側人數相等，總路程就不會再變小。
但如果 $x=0$，左邊沒有人，右邊卻有全部四人：往右移一步，四個人的距離都在減少，完全沒有人的距離在增加，當然大幅划算。這就是為什麼 $x=0$ 明顯比較差。
這就是中位數定理的核心直覺：只要左右兩側人數不相等，往人多的那一側移動一定更好；移到兩側人數平衡為止，才是最小值。
正式推導一：把「直覺」換成「斜率」
前面用「移動一小步」的思考實驗，其實就是在描述函數的斜率。把它寫得更精確一點。
$\lvert x-1\rvert$ 這一項，當 $x<1$ 時等於 $1-x$（斜率 $-1$），當 $x>1$ 時等於 $x-1$（斜率 $+1$）——這是一個 V 字形圖形，尖點在 $x=1$。$\lvert x-3\rvert$、$\lvert x-8\rvert$、$\lvert x-10\rvert$ 也都是同樣形狀的 V 字形，只是尖點分別在 $3,8,10$。
把四個 V 字形加起來，$f(x)$ 在每一段的斜率是：
| 區間 | $x<1$ | $1<x<3$ | $3<x<8$ | $8<x<10$ | $x>10$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 斜率 | $-1-1-1-1=-4$ | $+1-1-1-1=-2$ | $+1+1-1-1=0$ | $+1+1+1-1=+2$ | $+1+1+1+1=+4$ |
看出規律了嗎？每越過一個人家（每越過一個 $a_i$），斜率就增加 $2$——因為那一項的斜率從 $-1$ 跳到 $+1$，正好差 $2$。斜率的序列是
\[-4,\ -2,\ 0,\ +2,\ +4\]$f(x)$ 是一段一段的直線接起來的（分段一次函數），只有斜率由負轉正（或恰好是 $0$）的地方，才可能是最小值——斜率為負代表還在下降，斜率為正代表已經開始上升。從表格可以直接看到：斜率在 $3<x<8$ 這一段恰好是 $0$，前後則分別是負、正，所以
\[\boxed{\text{任何}\ x\in[3,8]\ \text{都是最小點}}\]這正好對應到前面「猜猜看」算出的三個點 $3,5.5,8$ 都得到相同答案 $14$ 的原因：它們全部落在這段斜率為 $0$ 的區間裡。
推廣到一般情形： 如果有 $n$ 個人（$n$ 個資料點，由小到大排序為 $a_1\le a_2\le\cdots\le a_n$），最左邊的斜率是 $-n$，每越過一個點斜率跳 $+2$，最右邊的斜率是 $+n$。
- $n$ 為奇數（$n=2m+1$）：斜率序列的正中央剛好是 $0$，對應唯一的中位數 $a_{m+1}$，所以最小點是 $x=a_{m+1}$。
- $n$ 為偶數（$n=2m$）：斜率序列在中間會出現一段恰好是 $0$（前面已越過 $m$ 個點、後面還有 $m$ 個點沒越過，$-m+m=0$），對應 $a_m$ 到 $a_{m+1}$ 這整段，所以最小點是 $x\in[a_m,a_{m+1}]$。
跟我們四人例題的情形完全一樣：$n=4$（偶數），$m=2$，最小區間正是 $[a_2,a_3]=[3,8]$。
正式推導二：配對法——順便把最小值直接算出來
斜率視角告訴我們最小點在哪裡，但如果只想知道最小值是多少，還有一個更快、完全不用討論斜率的代數技巧：把最外側的兩個人配成一對。
回到四人例題。無論 $x$ 在哪裡，到最左邊的人（$1$）與到最右邊的人（$10$）的距離總和，都至少是這兩人之間的距離：
\[|x-1|+|x-10|\ge 10-1=9\]這其實就是絕對值的三角不等式，等號成立的條件是 $x$ 落在 $[1,10]$ 之間。同樣的道理，把次外側的兩人（$3$ 和 $8$）也配成一對：
\[|x-3|+|x-8|\ge 8-3=5\]等號成立的條件是 $x\in[3,8]$。把兩個不等式加起來：
\[f(x)\ge 9+5=14\]右邊是一個固定數字，跟 $x$ 完全無關！而兩個不等式要同時取等號，$x$ 必須同時落在 $[1,10]$ 和 $[3,8]$ 這兩個區間裡——因為 $[3,8]\subset[1,10]$，只要滿足比較嚴格的 $[3,8]$，兩邊就都滿足了。所以
\[\boxed{\min f(x)=14,\quad\text{在}\ x\in[3,8]\ \text{時取得}}\]跟斜率法得到完全一樣的答案，但這個做法完全沒有提到「斜率」兩個字，純粹只用了「距離總和 $\ge$ 兩點間距」這個國中就學過的性質。
推廣到一般情形： 排序後的 $n$ 個點，由外而內兩兩配對相減、全部加總，就是最小值。$n$ 為偶數（$n=2m$）時，配出 $m$ 對，全部加起來就是最小值；$n$ 為奇數（$n=2m+1$）時，中間會剩一個配不成對的點 $a_{m+1}$，這一項的最小貢獻是 $0$（在 $x=a_{m+1}$ 時取得），其餘 $m$ 對的做法跟偶數情形完全一樣。
例題：換一組奇數個資料練習一次
求 $g(x)=\lvert x-2\rvert+\lvert x-5\rvert+\lvert x-6\rvert+\lvert x-9\rvert+\lvert x-13\rvert$ 的最小值。
這裡有 $5$ 個資料點（奇數個），中間那個是 $6$（排序後第 $3$ 個），配對其餘四個點：
\[|x-2|+|x-13|\ge13-2=11,\qquad|x-5|+|x-9|\ge9-5=4\]加總：
\[\min g(x)=11+4=15\]因為是奇數個資料，最小點是唯一的，就在中間那個點 $x=6$。驗算：
\[|6-2|+|6-5|+|6-6|+|6-9|+|6-13|=4+1+0+3+7=15\quad\checkmark\]如果同學走路的「代價」不一樣呢？——認識加權中位數
前面假設每位同學走一單位距離的代價都相同。但如果某些人行動不便，走一步路特別辛苦呢？
先看一個具體例子。 假設第一位同學（住在 $x=1$）每公里的辛苦程度是別人的 $10$ 倍，函數就要改寫成
\[f(x)=10|x-1|+|x-5|+|x-9|\]如果沒注意到這個權重，可能會直覺猜答案是普通中位數 $5$。但實際檢查斜率：$x<1$ 時，三項斜率分別是 $-10,-1,-1$，總和是 $-12$；一旦越過 $x=1$，第一項斜率立刻翻正，變成 $+10,-1,-1$，總和是 $+8$。斜率已經在 $x=1$ 由負翻正，所以
\[\boxed{\min f\ \text{發生在}\ x=1,\ \text{而不是}\ x=5}\]為什麼會這樣？ 因為第一位同學的權重太大了，只要他還在「左邊」，往右移動就要付出巨大代價；一旦越過他之後，剩下的兩位同學權重都只有 $1$，很快就被追過去了。這就像拔河比賽：不是看兩邊人數，而是看兩邊的總體重——體重極端不對稱時，平衡點會直接被拉到那個大體重的人旁邊。
一般化來說，如果每個人的權重是 $c_i>0$，原本「越過 $a_i$ 時斜率跳 $2$」的規則就要改成「越過 $a_i$ 時斜率跳 $2c_i$」，於是最小點不再是普通中位數，而是加權中位數：左側總權重與右側總權重達到平衡的位置。權重全部相等（$c_i=1$）時，加權中位數就會退回普通中位數——普通版本只是這個更一般規則裡最簡單的特例。
小提醒： 如果係數是正的常數乘在絕對值外面（例如 $\lvert2x-6\rvert=2\lvert x-3\rvert$），仍然可以看成權重 $2$，用加權中位數處理。但如果係數出現負數（例如 $\lvert x-1\rvert-2\lvert x-3\rvert+\lvert x+5\rvert$），函數就不再保證是「單谷」形狀，可能同時出現局部最大與局部最小，中位數的公式就不能直接套用，必須逐段重新分析斜率。這已經超出這個系列要處理的範圍，有興趣的讀者可以自行搜尋「次梯度」與「凸分析」，那是這整套理論在大學數學裡的正式語言。
總結
| 情況 | 找最小點的方法 | 最小點 |
|---|---|---|
| 純距離和，資料個數為奇數 | 排序後由外而內兩兩配對相減再加總；中間留下的唯一一點就是答案 | 排序後最中間那一點（唯一） |
| 純距離和，資料個數為偶數 | 做法相同，但排序後正中間剩下相鄰的兩點 | 排序後最中間相鄰兩點之間，整段都是答案 |
| 加權距離和（權重皆為正） | 找到「左側總權重＝右側總權重」的位置 | 加權中位數 |
中位數定理背後真正的原理，其實只有一句話：$\sum\lvert x-a_i\rvert$ 是一個分段一次函數，越過每個資料點時斜率跳動固定的幅度，最小值必定發生在斜率由負轉正的地方。
這個「斜率視角」不只是證明中位數定理的工具，它本身就是可以繼續推廣的框架——如果在這個和裡面，再混進一個二次函數會怎麼樣？二次函數的斜率不是分段常數，而是連續變化的一條直線，它會怎麼跟這些 V 字形的斜率跳動互動？這正是下一篇《中位數定理遇上二次函數》要處理的問題。