半對數圖：為什麼指數衰變的圖一取 log 就變直線？

\[\require{physics}\]

《log 的應用系列》：①總覽：乘法變加法的翻譯機 ｜ ②半對數圖與指數衰變 ｜ ③冪律與雙對數圖 ｜ ④分貝、地震規模、視星等 ｜ ⑤熵為什麼要取 log

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一組遞減的數據，怎麼知道它是不是指數衰變？

假設你在做一個實驗，量到下面這組數據：

$t$（秒）	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
$N$	$1000$	$607$	$368$	$223$	$135$

把它畫成一般的 $N$ 對 $t$ 座標圖，會看到一條從左上往右下彎曲下降的曲線。問題是：這條曲線是指數衰變 $N=N_0e^{-\lambda t}$，還是別種遞減函數（例如 $N=\dfrac{N_0}{1+kt}$）？

光憑肉眼看曲線的形狀，幾乎不可能分辨——遞減的曲線長得都差不多。這正是上一篇說的老問題：曲線不好判讀，直線才好判讀。 這篇文章要說明，怎麼用 log 把這條看不出所以然的曲線，變成一眼就能確認的直線。

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直覺：指數衰變的本質是「每一步都乘上同一個比例」

指數衰變之所以特別，是因為它的變化方式是乘法性的：不管從哪個時間點開始算，每經過固定的時間間隔，數值都會乘上同一個比例。以上面的數據為例，每經過 $5$ 秒：

\[\frac{607}{1000}\approx0.607,\qquad \frac{368}{607}\approx0.607,\qquad \frac{223}{368}\approx0.607,\qquad \frac{135}{223}\approx0.607\]

比值完全相同！這正是指數衰變的招牌特徵：「每經過固定時間，就乘上固定比例」，而不是「每經過固定時間，就減去固定數量」。 而上一篇的核心主張是：只要現象的骨子裡是「不斷相乘」，取 log 就能把它翻譯成「不斷相加」——這裡的「相加」，畫成圖就是一條斜率固定的直線。

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正式推導：從指數曲線到直線

指數衰變的公式是

\[N(t)=N_0e^{-\lambda t}\]

兩邊同取自然對數，利用 $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ 與 $\ln(e^x)=x$：

\[\ln N(t)=\ln N_0-\lambda t\]

把這個式子跟直線方程式 $y=mx+b$ 對照：

\[\underbrace{\ln N}_{y}=\underbrace{-\lambda}_{m}\cdot\underbrace{t}_{x}+\underbrace{\ln N_0}_{b}\]

$\ln N$ 對 $t$ 作圖，得到的正是一條直線，斜率是 $-\lambda$，截距是 $\ln N_0$。這種「縱軸取 log、橫軸保持原樣」的座標系，稱為半對數座標（semi-log scale），畫出來的圖叫半對數圖。

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例題：從半對數圖讀出衰變常數

把開頭那組數據，逐一取自然對數：

$t$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
$N$	$1000$	$607$	$368$	$223$	$135$
$\ln N$	$6.908$	$6.409$	$5.908$	$5.407$	$4.905$

把 $\ln N$ 對 $t$ 畫出來，五個點幾乎落在同一條直線上。取頭尾兩點計算斜率：

\[m=\frac{4.905-6.908}{20-0}=\frac{-2.003}{20}\approx-0.100\]

斜率是 $-0.100$，也就是 $\lambda\approx0.100\,\mathrm{s^{-1}}$。可以反推出這組數據的半衰期：

\[T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}\approx\frac{0.693}{0.100}\approx6.93\,\mathrm{s}\]

（半衰期一文已經完整推導過這個公式，這裡直接套用。）整個過程完全不需要用電腦擬合曲線，只要在半對數座標紙上點出資料、拉一條直線、量出斜率，就能求出衰變常數——這正是半對數圖在物理實驗室裡歷久不衰的原因：在示波器與電腦繪圖軟體普及之前，這是分辨「是不是指數衰變」最快的手繪方法。

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半對數圖的另一個用途：分辨「是」還是「不是」指數衰變

半對數圖最厲害的地方，其實不是「算出 $\lambda$」，而是驗證假設。

如果一組資料在半對數座標上點出來明顯不是直線（比如是向上彎或向下彎的曲線），這就是在告訴你：背後的物理機制根本不是指數衰變，可能是別的函數形式，例如冪律衰減 $N=\dfrac{N_0}{(1+kt)^n}$，或是好幾種衰變過程疊加在一起（例如衰變鏈中，母核與子核的活度疊加）。

這也帶出一個常見的誤區：遞減的曲線不等於指數衰變。 只有在半對數圖上會被拉直的曲線，才是真正的指數衰變；如果一條曲線要在雙對數圖（兩軸都取 log）上才會被拉直，那背後其實是冪律，而不是指數衰變——這兩種「長得像、本質不同」的遞減曲線，是下一篇要處理的問題。

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應用不只一種：RC 電路、藥物代謝也是同一招

指數衰變的公式不是核物理專屬。RC 電路放電時的電容電壓 $V_C(t)=V_0e^{-t/RC}$、藥物在血液中的代謝濃度、聲音在房間裡的殘響強度衰減，全部都是 $e^{-t/\tau}$ 的形式（$\tau$ 是各自的時間常數）。這代表同一套「半對數圖拉直線」的技巧，可以原封不動地套用到完全不同的物理系統上——這正是 log 作為一種通用翻譯工具的價值：它不在乎現象背後是核衰變還是電路放電，只要數學形式是指數的，log 就能把它拉直。

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總結

觀察到的現象	判斷方法	讀出的物理量
每經過固定時間，數值乘上固定比例	這是指數衰變的招牌特徵	—
半對數圖（$\ln N$ 對 $t$）呈直線	確認背後是 $N=N_0e^{-\lambda t}$	斜率 $=-\lambda$，截距 $=\ln N_0$
半對數圖不是直線	背後不是單純的指數衰變	需要考慮冪律或疊加過程

半對數圖的精神，跟整個系列的主線完全一致：指數衰變的本質是「不斷乘上同一個比例」，取 log 之後就變成「不斷減去同一個量」，畫出來自然是一條直線。下一篇要處理的，是另一種同樣常見、卻需要兩個軸都取 log 才能拉直的關係——冪律。

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