牛頓力學用力向量描述運動；拉格朗日力學改用能量差。本文以單擺為例，介紹廣義座標的概念，推導歐拉－拉格朗日方程式，並說明為何張力（約束力）在這個框架中自動消失。

相空間把單擺所有可能的運動一次畫出來。本文介紹相平面的座標、等能量曲線的三種類型（libration、separatrix、rotation），說明 separatrix 的方程式與物理意義，並連結到 K(k) 在 k→1 時的發散行為。

第一類橢圓積分 K(k) 沒有初等函數公式，但可以高效率地計算。本文介紹兩種方法：冪級數展開（適合小 k）與算術幾何平均（AGM）演算法。AGM 每迭代一次有效位數倍增，只需約 10 步即可達到機器精度。

第一類完全橢圓積分 K(k) 出現在大角度單擺的精確週期公式中。本文定義 K(k)，說明它為何不能用初等函數表示，討論其在 k=0 和 k→1 時的行為，並給出冪級數展開式，讓單擺週期修正一目瞭然。

把立方電阻網路無限延伸，兩個相鄰節點的等效電阻是多少？本文用疊加原理給出無需積分的優雅答案 R/3，再用格點格林函數與離散傅立葉變換推導出三重積分，最後用對稱性論證讓積分精確消去。立方晶格等效電阻系列第八篇。

高中學到的單擺公式 T = 2pi*sqrt(L/g) 其實只是小角度近似。本文從牛頓力學出發，用能量守恆推導大角度單擺的精確週期積分，並透過半角代換推導出以第一類橢圓積分 K(k) 表達的精確公式 T = 4*sqrt(L/g)*K(sin(theta_0/2))。

有了圖 Laplacian L，解電路問題等同於解 Lv=i。但 L 是奇異矩陣，本文介紹兩種處理方式：接地縮減法與 Moore–Penrose 擬逆。從擬逆推導出有效電阻閉合公式，再用 Python 一次驗算正方體三種連法，並展示立方體 Laplacian 的美麗特徵譜。立方晶格等效電阻系列第七篇。

電路可以用圖來描述：節點是頂點，電阻是帶權重的邊。把這個想法寫成矩陣，就得到圖 Laplacian L = D - A。本文從小例子出發，推導出 KCL 的矩陣形式 Lv = i，並寫出正方體電路的 8×8 Laplacian 矩陣。立方晶格等效電阻系列第六篇。

正方體 12 條邊各一顆電阻 R，除了體對角線（5R/6），面對角線與稜邊的等效電阻分別是多少？本文用群作用軌道法系統化處理三種連法，展示端點選擇如何決定對稱群大小、進而影響聯立方程式壓縮程度。立方晶格等效電阻系列第五篇。

食鹽為什麼是正方體？水分子為什麼是彎曲的？本文從分子對稱出發介紹群的四條公理、群作用與軌道，說明對稱性如何把立方體電路問題降維。立方晶格等效電阻系列第四篇。