三角函數有理式的極值：三種解法對比
求 y = (2 - sin x)/(1 + cos x) 的極值。本文展示三種解法：幾何點線距離法、微分法、輔助角疊合法，並比較各自的計算量與洞察力。最優雅的解法只需畫一條直線。
求以下函數的極值：
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x}\]這道題看起來像普通的三角函數求極值，但如果一頭栽進微分計算，會陷入一大堆三角化簡。本文展示三種解法，最後你會發現，最優雅的解法完全不需要微分。
解法一：幾何法（點線距離）
這是最快、最有洞察力的解法：整個問題可以翻譯成「一個定點到單位圓上動點的連線，斜率能有多大」。
把 $y$ 讀成斜率
令 $P=(\cos x,\ \sin x)$ 是單位圓上的動點，$Q=(-1,\ 2)$ 是一個固定點。直線 $QP$ 的斜率是
\[k=\frac{\sin x-2}{\cos x-(-1)}=\frac{\sin x-2}{\cos x+1}\]而原式恰好是它的相反數：
\[y=\frac{2-\sin x}{1+\cos x}=-\,\frac{\sin x-2}{\cos x+1}=-k\]所以「求 $y$ 的極值」＝「求 $k$ 的極值」，只是差一個負號。
定義域對應圓上被挖掉的一點
原式要求 $\cos x\neq-1$，也就是 $P$ 不能是圓上的 $(-1,0)$ 這一點——那正是 $Q$ 正下方的點。這個細節等一下會決定答案的形狀，先記著。
斜率的極值發生在切線
$Q=(-1,2)$ 到圓心的距離是 $\sqrt{1+4}=\sqrt5>1$，所以 $Q$ 在圓外，從 $Q$ 可以作出兩條切線。設切線為 $y-2=k(x+1)$，即 $kx-y+(k+2)=0$，令圓心到它的距離等於半徑 $1$：
\[\frac{\lvert k+2\rvert}{\sqrt{k^2+1}}=1 \implies (k+2)^2=k^2+1 \implies 4k+4=1 \implies k=-\frac34\]$k^2$ 在展開時消掉了，方程式退化成一次的——只解出一條切線。另一條切線去哪了？
答案是：它是鉛直線 $x=-1$。這條線到圓心的距離恰好是 $1$，確實與圓相切，切點正是 $(-1,0)$；但鉛直線沒有斜率（可以理解為斜率趨於無限大），所以它不會出現在「解 $k$」的方程式裡。
這不是巧合：$Q$ 的橫座標剛好是 $-1$，使得它的一條切線恰好豎直，而切點又剛好是定義域被挖掉的那一點。
讀出答案
於是 $P$ 在圓上（挖掉 $(-1,0)$）移動時，$k$ 的行為是：
- 在斜切線的切點處取到最大值 $k=-\dfrac34$；
- 當 $P$ 從兩側趨近被挖掉的 $(-1,0)$ 時，$QP$ 趨近鉛直，$k\to-\infty$。
（可以取幾個點檢查：$P=(1,0)$ 時 $k=-1$，$P=(0,1)$ 時 $k=-1$，$P=(0,-1)$ 時 $k=-3$，都不超過 $-\dfrac34$。）
所以 $k$ 的值域是 $\left(-\infty,\ -\dfrac34\right]$，取負號後：
\[\boxed{y=-k\in\left[\frac34,\ +\infty\right)}\]$y$ 有最小值 $\dfrac34$，但沒有最大值——而這正是「兩條切線裡有一條是鉛直線」的幾何後果。
順帶一提，斜率 $-\dfrac34$ 的切線是 $3x+4y-5=0$，切點為 $\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$，也就是 $\cos x=\dfrac35$、$\sin x=\dfrac45$。這個座標等一下會在微分法裡原封不動地再出現一次。
解法二：微分法
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x}\] \[y' = \frac{-\cos x(1+\cos x) - (2-\sin x)(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}\]展開分子：
\[-\cos x - \cos^2 x + 2\sin x - \sin^2 x = -\cos x - (\cos^2 x + \sin^2 x) + 2\sin x = -\cos x - 1 + 2\sin x\]令 $y’ = 0$：
\[2\sin x - \cos x = 1\]使用輔助角法：$2\sin x - \cos x = \sqrt{5}\sin(x - \phi)$，其中 $\tan\phi = \dfrac{1}{2}$。
\[\sqrt{5}\sin(x-\phi) = 1 \implies \sin(x-\phi) = \frac{1}{\sqrt{5}}\]此方程式有解，所以 $y$ 有駐點。對應的 $y$ 值：
當 $y’ = 0$ 時，$\cos x = 2\sin x - 1$，代入原式：
\[y = \frac{2 - \sin x}{1 + \cos x} = \frac{2 - \sin x}{1 + (2\sin x - 1)} = \frac{2 - \sin x}{2\sin x}\]令 $s = \sin x$，由 $2s - \cos x = 1$ 及 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 消去 $\cos x$：
\[\cos x = 2s - 1, \quad s^2 + (2s-1)^2 = 1\] \[s^2 + 4s^2 - 4s + 1 = 1 \implies 5s^2 - 4s = 0 \implies s(5s-4) = 0\]$s = 0$ 給出 $\cos x = -1$，但原式在 $\cos x = -1$ 無定義，捨去。
$s = \dfrac{4}{5}$ 給出 $\cos x = 2 \cdot \dfrac{4}{5} - 1 = \dfrac{3}{5}$，代入：
\[y = \frac{2 - 4/5}{2 \cdot 4/5} = \frac{6/5}{8/5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]檢查二階導數（或觀察函數行為）確認這是極小值，且$y$ 的最小值為 $\dfrac{3}{4}$。
由於 $y \to +\infty$（當 $\cos x \to -1^+$）且 $y$ 可以趨向 $+\infty$，函數沒有最大值，只有極小值 $\dfrac{3}{4}$。
\[\boxed{y_{\min} = \frac{3}{4}}\]解法三：輔助角疊合法
令 $y = \dfrac{2 - \sin x}{1 + \cos x}$，整理：
\[y(1 + \cos x) = 2 - \sin x\] \[\sin x + y\cos x = 2 - y\]左邊用輔助角法：$\sin x + y\cos x = \sqrt{1+y^2}\sin(x+\phi)$，其中 $\tan\phi = y$。
此方程式有解的條件是右邊的絕對值 $\leq$ 左邊的振幅：
\[\lvert 2 - y\rvert \leq \sqrt{1+y^2}\] \[(2-y)^2 \leq 1+y^2\] \[4 - 4y + y^2 \leq 1 + y^2\] \[3 \leq 4y\] \[\boxed{y \geq \frac{3}{4}}\]最小值在等號成立時取得，即 $y_{\min} = \dfrac{3}{4}$。
三種解法比較
| 解法 | 核心工具 | 計算量 | 洞察力 |
|---|---|---|---|
| 幾何法（點線距離） | 斜率 + 切線條件 | 少 | ⭐⭐⭐ |
| 微分法 | $y’ = 0$ + 聯立方程式 | 多 | ⭐⭐ |
| 輔助角疊合法 | $A\sin + B\cos$ 有解條件 | 最少 | ⭐⭐⭐ |
輔助角法是這題最簡潔的代數解法：把「$y$ 能取到什麼值」轉化為「方程式有解的條件」，一步到位。
幾何法的洞察力同樣深刻——把三角函數問題轉為「固定點到圓上動點連線的斜率範圍」，直接從圖形讀出答案。
通用方法提示
遇到 $y = \dfrac{a + b\sin x + c\cos x}{d + e\sin x + f\cos x}$ 形式的函數求極值，輔助角法的思路最系統：
- 整理為 $e\sin x + f\cos x = (\text{含 } y \text{ 的常數})$ 的形式
- 利用「$A\sin x + B\cos x = C$ 有解 $\iff \lvert C\rvert \leq \sqrt{A^2 + B^2}$」
- 解出 $y$ 的範圍