彈簧位能 ½kx²、動能 ½mv²、電場能量密度 ½ε₀E²……為什麼物理的能量公式幾乎都長成平方的樣子？本文從穩定平衡點的泰勒展開出發，證明這不是巧合，並串起正定矩陣、簡正模與高斯分布背後同一個結構。

托勒密定理說圓內接四邊形的對角線乘積等於兩組對邊乘積之和。本文從一個常見的解題困境出發，用餘弦定理完整推導這條定理，並示範如何用它證明 sin(A+B) 公式，最後整理何時該用托勒密定理、何時該老實用餘弦定理。

許多看起來複雜的三角方程式，其實只是換了外衣的一元二次方程式。本文以 4cos²x+cosx−2=0 為例，示範如何用換元法 u=cos x 化簡、檢查值域、再用反餘弦與象限判斷寫出完整通解，並整理選項陷阱與常見錯誤。

水從容器小孔流出的速率等於從水面自由落下到孔口的速率——這是托里切利定律。本文從白努利方程式推導 v = sqrt(2gh)，再建立排水 ODE，並完整計算圓柱形水槽與半球碗的排空時間，展示微積分如何預測動態水位變化。

普通微積分找讓函數極值的數字；泛函與變分法則找讓泛函極值的函數形狀。本文從泛函的定義出發，推導 Euler–Lagrange 方程式，並以最短路徑、最速降線、費馬原理與最小作用量說明應用。

課本說氣體壓力公式 P = Nmv²/3V 對任意容器形狀都成立，卻從不給證明。本文用維里定理與散度定理補上這個缺口，說明為何形狀資訊在積分後只剩下體積 V，並延伸到真實氣體的維里修正。

從一個國中思想實驗出發，澄清大氣壓力等於空氣重量的誤解，推導靜液壓方程 grad p = rho g，再從壓力梯度的合力嚴格推導阿基米德浮力，最後說明無重力環境下壓力與浮力的行為。

從連續體假設出發，建立密度、壓力、速度的場描述；推導物質導數、質量守恆連續方程式、無黏流體的 Euler 方程式，最後把白努利方程式作為 Euler 方程式沿流線積分的結果嚴格推導出來。

第一類橢圓積分K(k)的反函數，定義出sn、cn、dn三個雅可比橢圓函數。本文從反函數出發建立它們的基本性質，推出單擺的精確解，並說明剛體自由轉動的歐拉方程式如何用同一套函數描述。

克卜勒軌道的週期不需要橢圓積分，但橢圓軌道本身的弧長、扁球重力場、三體問題與廣義相對論的近日點進動卻都需要。本文整理天體力學中橢圓積分真正出現的地方，並說明克卜勒問題特殊在哪裡。